Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

lnx-mx，g（x）=x-

a

x

（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若m=

1

2e2

，對(duì)?x₁，x₂∈[2，2e²]都有g(shù)（x₁）≥f（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：2²ln2+2³ln3+2⁴ln4+…+2ⁿlnn＜4+（n-2）×2ⁿ⁺¹（n≥2且n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）易求f′（x）=

1

2x

-m，通過(guò)對(duì)m≤0與m＞0的討論，可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）m=

1

2e2

，f（x）=

1

2

lnx-

1

2e2

x，?x₁，x₂∈[2，2e²]都有g(shù)（x₁）≥f（x₂）成立等價(jià)于對(duì)?x∈[2，2e²]都有[g（x）]_min≥[f（x）]_max，從而可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，3]；
（Ⅲ）f（x）=

1

2

lnx-mx，m＞0，令m=

1

2

，則f（x）=

1

2

lnx-

1

2

x，由（I）知f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，f（x）≤f（1）=-

1

2

，（當(dāng)x=1時(shí)取“=”號(hào)）可得

1

2

lnx-

1

2

x≤-

1

2

，lnx≤x-1，于是2²ln2+2³ln3+…+2ⁿlnn＜2²×1+2³×2+…+2ⁿ×（n-1），利用錯(cuò)位相減法即可證得結(jié)論成立．

解答： 解：（I）f（x）=

1

2

lnx-mx，x＞0，∴f′（x）=

1

2x

-m（1分）
當(dāng)m≤0時(shí)f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．（2分）
當(dāng)m＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=

1

2m

；
由

f′(x)＞0 x＞0

得0＜x＜

1

2m

，
由

f′(x)＜0 x＞0

得x＞

1

2m

，（4分）
綜上所述：當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

2m

），單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

2m

，+∞）．（5分）
（Ⅱ）若m=

1

2e2

，f（x）=

1

2

lnx-

1

2e2

x，?x₁，x₂∈[2，2e²]都有g(shù)（x₁）≥f（x₂）成立等價(jià)于對(duì)?x∈[2，2e²]都有[g（x）]_min≥[f（x）]_max（6分）
由（I）知在[2，2e²]上f（x）的最大值f（e²）=

1

2

（7分）
g′（x）=1+

a

x2

＞0（a＞0），x∈[2，2e²]．
函數(shù)g（x）在[2，2e²]上是增函數(shù)，
[g（x）]_min=g（2）=2-

a

2

，（9分）
由2-

a

2

≥

1

2

，得a≤3，又因?yàn)閍＞0，∴a∈（0，3]，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，3]．（10分）
（Ⅲ）證明：f（x）=

1

2

lnx-mx，m＞0，令m=

1

2

，則f（x）=

1

2

lnx-

1

2

x，
由（I）知f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，
f（x）≤f（1）=-

1

2

，（當(dāng)x=1時(shí)取“=”號(hào)）
∴

1

2

lnx-

1

2

x≤-

1

2

，lnx≤x-1（11分）
∴2²ln2+2³ln3+…+2ⁿlnn＜2²×1+2³×2+…+2ⁿ×（n-1）（12分）
令S=2²×1+2³×2+…+2ⁿ×（n-1）…①
2S=2³×1+2⁴×2+…+2ⁿ×（n-2）+…+2ⁿ⁺¹×（n-1）…②
①-②得-S=2²+2³+…+2ⁿ-（n-1）×2ⁿ⁺¹=-4（1-2^n-1）-（n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴S=4+（n-2）×2ⁿ⁺¹（n≥2且n∈N^*）．
∴2²ln2+2³ln3+2⁴ln4+…+2ⁿlnn＜4+（n-2）×2ⁿ⁺¹（n≥2且n∈N^*）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想，屬于難題．