Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為3，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)，求證:.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞（2）存在，2（3）證明見解析

【解析】

（1）求出，討論當(dāng)的正負(fù)，即可得出結(jié)論；

（2）求導(dǎo)，對分類討論求出的最小值，且等于，得到關(guān)于的方程，求解即可；

（3）要證，只需證，只需證，對照結(jié)構(gòu)特征，令，利用的單調(diào)性，即可證明結(jié)論.

（1）∵，∴，

當(dāng)，時，∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（2）存在實數(shù)使得在上有最小值，

∵，∴，

∴當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增無最小值，

∴，此時設(shè)方程的正根為，

∴，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

∴，

∴，即，

函數(shù)在單調(diào)遞增，

且，∴，∴.

（3）由（1）知當(dāng)，在上單調(diào)遞增；

不妨設(shè)，且，則，即:，

所以有，

∵，∴，

∴，

∴，

即:.