Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)y=6x+3．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=6x+c有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²-2ax+6，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）方程f（x）=6x+c有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于x³-3x=c有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令g（x）=x³-3x，由g'（x）=3x²-3=0，得x₁=-1，x₂=1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²+3x，
∴f′（x）=3x²-2ax+6，…（1分）
由題意得：f′（1）=6-2a=6…（3分）
解得：a=0．…（4分）
（Ⅱ）方程f（x）=6x+c有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于x³-3x=c有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，…（5分）
令g（x）=x³-3x，由g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0…（6分）
解得：x₁=-1，x₂=1…（7分）
當(dāng)x＜-1時(shí)，g'（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0；
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0．
∴g（x）在（-∞，-1]單調(diào)遞增，在（-1，1]單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增…（9分）
又g（-1）=2，g（1）=-2…（10分）
∴-2＜c＜2…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．