【題目】設S表示所有大于﹣1的實數(shù)構成的集合,確定所有的函數(shù):S→S,滿足以下兩個條件:
對于S內(nèi)的所有x和y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x);在區(qū)間﹣1<x<0與x>0的每一個內(nèi), 是嚴格遞增的.求滿足上述條件的函數(shù)的方程.

【答案】解:令y=x得f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x),
令x+f(x)+xf(x)=c,則f(c)=c,
帶入(1)得f(2c+c2)=2c+c2 . ∵2+c>2+(﹣1)=1,∴2c+c2=c(2+c)與c同號.
若c>0,則2c+c2>c,但 ,與 在x>0時嚴格遞增相矛盾,
若c<0,同樣導出矛盾,
∴c=0,從而對一切x∈S有x+f(x)+xf(x)=0,

【解析】令y=x可得f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x),令x+f(x)+xf(x)=c,則f(c)=c,代入(1)可得f(2c+c2)=2c+c2 . 對c的符號進行討論得出c=0即x+f(x)+xf(x)=0,從而得出f(x)的解析式.

練習冊系列答案
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(2)設bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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