Question

【題目】已知點(diǎn)p(1,m)在拋物線(xiàn)上，F為焦點(diǎn)，且.

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)T(4,0)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析:（1）首先，確定參數(shù)P，然后，求解其方程；

（2）首先，對(duì)直線(xiàn)的斜率分為不存在和存在進(jìn)行討論，然后，確定的取值情況．

解：（1）∵拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0），

∴焦點(diǎn)F（，0）．

由拋物線(xiàn)定義得：|PF|=1+=3，

解得p=3，

∴拋物線(xiàn)C的方程為y2=8x．

（2）（i）①當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，

此時(shí)直線(xiàn)方程為：x=4，

A（4，4），B（4，﹣4），

則．

②當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)

y=k（x﹣4），k≠0，

由，可得

k2x2﹣（8k2+8）x+16k2=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=，

x1×x2=16，

∴y1×y2=k2（x1﹣4）（x2﹣4）

=k2[x1x2﹣4（x1+x2）+16]

=k2[16﹣+16]

=﹣32，

∴×=x1x2+y1y2=16﹣32=﹣16．