【題目】已知圓為圓上任一點.
(1)求的最大值與最小值;
(2)求的最大值與最小值.
【答案】(1)最大值是,最小值是;(2)最大值是,最小值是.
【解析】
(2)試題分析:(1)是圓上的點與點連線的斜率,最大、最小值分別是過點的圓的兩條切線的斜率.設(shè)切線的斜率為,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出斜率;(2)令,則,轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解,平移直線,當(dāng)直線和圓有公共點時,的范圍即可確定,且最值在直線與圓相切時取得.利用點到直線的距離公式,求得的取值范圍.
試題解析:
(1)顯然可以看作是點與點連線的斜率.令,如圖所示,則其最大、最小值分別是過點的圓的兩條切線的斜率.
對上式整理得,
∴,
∴.
故的最大值是,最小值是.
(3)令,則可視為一組平行線,當(dāng)直線和圓有公共點時,的范圍即可確定,且最值在直線與圓相切時取得.
依題意,得,取得,
故的最大值是,最小值是.
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【題目】已知橢圓,,過橢圓的右頂點和上頂點的直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓的上頂點, 過點分別作直線交橢圓于兩點, 設(shè)這兩條直線的斜率分別為,且,證明: 直線 過定點
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)x∈[1,4]時,求函數(shù)的值域;
(2)如果對任意的x∈[1,4],不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍
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【題目】已知函數(shù),,其中a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,判斷f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)a的取值范圍
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【題目】小明對本班同學(xué)做調(diào)查,提出問題“你考試作弊嗎?”這樣的問法______(填“合理”或“不合理”),理由是______________.
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【題目】(本小題滿分12分)如圖,點A,B是單位圓上的兩點,A,B兩點分別在第一、二象限,點C是圓與x軸正半軸的交點,△AOB是正三角形,若點A的坐標為(,),記∠COA=α.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求cos∠COB的值.
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【題目】定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足, ,當(dāng)時有恒成立,若非負實數(shù)、滿足, ,則的取值范圍為 .
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【題目】鐵礦石A和B的含鐵率為,冶煉每萬噸鐵礦石CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石
的價格c如下表:
b(萬噸) | (百萬元) | ||
A | 50% | 1 | 3 |
B | 70% | 0.5 | 6 |
某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵,若要求CO2的排放量不超過2(萬噸),則購買鐵礦石的最少費用為________ (百萬元).
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【題目】如圖,某企業(yè)的兩座建筑物AB,CD的高度分別為20m和40m,其底部BD之間距離為20m.為響應(yīng)創(chuàng)建文明城市號召,進行亮化改造,現(xiàn)欲在建筑物AB的頂部A處安裝一投影設(shè)備,投影到建筑物CD上形成投影幕墻,既達到亮化目的又可以進行廣告宣傳.已知投影設(shè)備的投影張角∠EAF為,投影幕墻的高度EF越小,投影的圖像越清晰.設(shè)投影光線的上邊沿AE與水平線AG所成角為α,幕墻的高度EF為y(m).
(1)求y關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式,并求出定義域;
(2)當(dāng)投影的圖像最清晰時,求幕墻EF的高度.
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