Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半軸長(zhǎng)為l，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=

a2

c

（c為半焦距）上．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)M（2，t）在直線x=

a2

c

上，得

a2

c

=2，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）以O(shè)M為直徑的圓的方程為（x-1）²+（y-

t

2

）²=

t2

4

+1．由此利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出圓的方程．
（Ⅲ）由平幾知|ON|²=|OK||OM|，直線OM：y=

t

2

x，直線FN：y=-

2

t

(x-1)，由

y= t 2 x y=- 2 t (x-1)

，得xk=

4

t2+4

．由此能證明線段ON的長(zhǎng)為定值．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：由點(diǎn)M（2，t）在直線x=

a2

c

上，得

a2

c

=2，
故

1+c2

c

=2，∴c=1． 從而a=

2

．…（2分）
所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）解：以O(shè)M為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-t）=0．
即（x-1）²+（y-

t

2

）²=

t2

4

+1．其圓心為（1，

t

2

），半徑t=

t2 4 +1

．…（6分）
因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2，
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=

r2-1

=

t

2

．
所以

|3-2t-5|

5

=

t

2

，解得t=4．
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5．…（9分）
（Ⅲ）證明：由平幾知：|ON|²=|OK||OM|，（K為垂足）
直線OM：y=

t

2

x，直線FN：y=-

2

t

(x-1)，由

y= t 2 x y=- 2 t (x-1)

，得xk=

4

t2+4

．
∴|ON|²=

(1+ t2 4 )xk

•

(1+ t2 4 )xM

=（1+

t2

4

）•

4

t2+4

•2=2．
所以線段ON的長(zhǎng)為定值

2

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程的求法，考查線段ON的長(zhǎng)為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．