Question

1．從裝有編號(hào)為1，2，3，…，n+1的n+1個(gè)球的口袋中取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C_n+1^m種取法．在這C_n+1^m種取法中，不取1號(hào)球有C₁⁰C_n^m種取法；必取1號(hào)球有C₁¹C_n^m-1種取法．所以C₁⁰C_n^m+C₁¹C_n^m-1=C_n+1^m，即C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m成立．試根據(jù)上述思想，則有當(dāng)1≤k≤m≤n，k，m，n∈N時(shí)，C_n^m+C_k¹C_n^m-1+C_k²C_n^m-2+…+C_k^kC_n^m-k=$C_{n+k}^m$．

Answer 1

分析 從裝有n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C_n+1^m種取法．在這C_n+1^m種取法中，可以分成兩類(lèi)：一類(lèi)是取出的m個(gè)球全部為白球，另一類(lèi)是，取出1個(gè)黑球，m-1個(gè)白球，則C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m根據(jù)上述思想，在式子：C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，故根據(jù)排列組合公式，可得答案．

解答 解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，
故從裝有n+k球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)$C_{n+k}^m$．
故答案為：$C_{n+k}^m$．

點(diǎn)評(píng) 這個(gè)題結(jié)合考查了推理和排列組合，處理本題的關(guān)鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項(xiàng)所表示的含義，再結(jié)合已知條件進(jìn)行分析，最后給出正確的答案．