Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+3|-m（m∈R），不等式f（x）＜5的解集為（-4，2）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²+$\frac{^{2}}{4}$+$\frac{{c}^{2}}{9}$=m，求證：a+b+c≤$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，解不等式，利用不等式f（x）＜5的解集為（-4，2），求m的值；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=|x-1|+|x+3|-m，
∴當(dāng)x＜-3時(shí)，由不等式-2x-2-m＜5，得x＞-$\frac{m+7}{2}$．…（2分）
當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，4-m＜5．…（3分）
當(dāng)＞1時(shí)，由不等式2x+2-m＜5，得x＜$\frac{3+m}{2}$．…（4分）
∵不等式f（x）＜5的解集為（-4，2），
∴{x|-$\frac{m+7}{2}$＜x＜$\frac{3+m}{2}$}={x|-4＜x＜2}，
∴m=1．…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，a²+$\frac{^{2}}{4}$+$\frac{{c}^{2}}{9}$=1，…（7分）
∴（a+b+c）²=（1×a+2×$\frac{2}$+3×$\frac{c}{3}$）²≤（1²+2²+3²）（a²+$\frac{^{2}}{4}$+$\frac{{c}^{2}}{9}$）=14…（9分）
∴a+b+c≤$\sqrt{14}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查柯西不等式證明不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．