Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0），若f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上具有單調(diào)性，且$f（{\frac{π}{2}}）=f（{\frac{2π}{3}}）=-f（{\frac{π}{6}}）$，則f（x）的最小正周期為（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 由題意可得則$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{7π}{12}$ 對稱，且一個對稱點為（$\frac{π}{3}$，0），由此求得ω的值，可得函數(shù)的最小正周期．

解答 解：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）在區(qū)間$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上具有單調(diào)性，且$f（{\frac{π}{2}}）=f（{\frac{2π}{3}}）=-f（{\frac{π}{6}}）$，
則$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$ 對稱，且一個對稱點為（$\frac{π}{3}$，0）．
可得0＜ω≤3且 $\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$，求得ω=2，
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
故選：C．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．