Question

在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4．Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到Rt△AOC，且二面角B-AO-C是直二面角．動點D在斜邊AB上．
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）當(dāng)AD=

1

2

DB時，求異面直線AO與CD所成角的正切值；
（3）求CD與平面AOB所成最大角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用二面角的定義、線面與面面垂直的判定與性質(zhì)即可得出；
（2）作DE⊥OB，垂足為E，連結(jié)CE，則DE∥AO，∠CDE是異面直線AO與CD所成的角，在Rt△CDE中，可求異面直線AO與CD所成角的正切值；
（3）由（1）知，CO⊥平面AOB，可得∠CDO是CD與平面AOB所成的角，當(dāng)OD最小時，∠CDO最大，結(jié)合含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： （1）證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是直二面角B-AO-C的平面角，…（2分）
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．                …（4分）
（2）解：作DE⊥OB，垂足為E，連結(jié)CE，則DE∥AO，
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．     …（6分）
在 Rt△COB中，易得CO=BO=2，OE=

1

3

BO=

2

3

，
∴CE=

CO2+OE2

=

2 10

3

．
又DE=

2

3

AO=

4 3

3

．
∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=

CE

DE

=

30

6

．
∴異面直線AO與CD所成角的正切值為

30

6

．                 …（9分）
（3）解：由（1）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，且tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

．
當(dāng)OD最小時，∠CDO最大，…（11分）
這時，OD⊥AB，垂足為D，OD=

OA•OB

AB

=

3

，tan∠CDO=

2 3

3

，
∴CD與平面AOB所成最大角的正切值為

2 3

3

．…（14分）

點評：熟練掌握二面角的定義、線面與面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角的定義及其含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．