如圖，在平行四邊形ABCD中，|AB|=3，|BC|=2，
e1
=
AB
|
AB
|
，
e2
=
AD
|
AD
|
，
AB
與
AD
的夾角為
π
3
．
（1）若
AC
=x
e1
+y
e2
，求x、y的值；
（2）求
AC
•
BD
的值；
（3）求
AC
與
BD
的夾角的余弦值．
考點：平面向量的綜合題
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由平行四邊形法則得
AC
=
AB
+
AD
，而
e1
，
e2
分別是
AB
，
AC
方向上的單位向量，再結(jié)合數(shù)乘運算、平面向量基本定理中的“唯一性”不難求出x、y；
（2）由題意可以
AB
，
AC
為基底，將
AC
及
BD
用基底表示，再利用內(nèi)積的定義及運算可求得
AC
•
BD
的值；
（3）直接套用夾角公式cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
||
b
|
計算．
解答： 解：（1）∵|AB|=3，|BC|=2，
e1
=
AB
|
AB
|
，
e2
=
AD
|
AD
|
，
∴
AC
=
AB
+
BC
=3
e1
+2
e2
=x
e1
+y
e2
，
∴x=3，y=2．

（2）由向量的運算法則知，
BD
=
AD
-
AB
=2
e2
-3
e1
，
∴
AC
•
BD
=(2
e
2+3
e1
)•(2
e
2-3
e1
)=4
e
 
2
2-9
e1
2=-5．
（3）∵
AB
與
AD
的夾角為
π
3
，∴
e1
與
e2
的夾角為
π
3
，
又|
e1
|=|
e2
|=1，
∴|
AC
|=|
AD
+
AB
|=|2
e2
+3
e1
|=
4
e2
2+9
e1
2+12
e2
•
e1
=
4+9+12×cos
π
3
=
19
，
∴|
BD
|=|
AD
-
AB
|=|2
e2
-3
e1
|=
4
e2
2+9
e1
2-12
e2
•
e1
=
4+9-12×cos
π
3
=
7
，
設(shè)
AC
與
BD
的夾角為θ，可得cosθ=
AC
•
BD
|
AC
|•|
BD
|
=
(2
e2
+3
e1
)•(2
e2
-3
e1
)
19
×
7
=
4
e2
2-9
e1
2
133
=-
5
133
133
，
∴
AC
與
BD
的夾角的余弦值為-
5
133
133
．
點評：利用平面向量基本定理解題，一般先以不共線的、模長及夾角都知道的兩個向量作為基底，然后利用基底把已知的、所求的向量表示出來，再進行有關(guān)的運算化簡和證明；數(shù)量積的考查是重點也是熱點，一般是距離和角的計算居多，要以數(shù)量積的定義為出發(fā)點進行思考，要注意結(jié)合圖形尋找解題思路．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓a2x2-
a
2
y2=1的一個焦點是（-2，0），則a等于（　　）
A、
1-
3
4
B、
1-
5
4
C、
-1±
3
4
D、
-1±
5
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥平面ABCD，AD=PD=2EA，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點．
（Ⅰ）求證：平面FGH∥平面PED
（Ⅱ）求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△AOB中，∠AOB=
π
2
，且向量
OA
=（-1，3），
OB
=（cosα，-sinα）．
（1）求
sin(π-2α)+cos2α
2cos2α+sin2α+2
；
（2）若α是鈍角，α-β是銳角，且sin（α-β）=
3
5
，求sinβ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2
ex
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）=
m
x
有解，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若存在實數(shù)x1≠x2，使x1•f（x1）=x2•f（x2）成立，求證：x1+x2＞6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

是否存在常數(shù)a、b，使等式：12+22+32+…+n2=an（n+b）（2n+1）對一切正整數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在Rt△AOB中，∠OAB=
π
6
，斜邊AB=4．Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到Rt△AOC，且二面角B-AO-C是直二面角．動點D在斜邊AB上．
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）當(dāng)AD=
1
2
DB時，求異面直線AO與CD所成角的正切值；
（3）求CD與平面AOB所成最大角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2x-8，若對一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+d在區(qū)間（-∞，0]和[6，8]上單調(diào)遞增，在[0，2]上單調(diào)遞減，其圖象與x軸交于A，B，C三點，其中點B的坐標為（2，0）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求b的取值范圍；
（Ⅲ）求|AC|的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案