Question

設(shè)g（x）是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，5]，則f（x）在區(qū)間[-2，6]上的值域為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)g（x）是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，得到g（x）=g（x+1），然后根據(jù)變量代換，逐步使變量取到給定的區(qū)間[-2，6]，最后求出不同區(qū)間段內(nèi)的值域取并集即可．

解答： 解：因為g（x）是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，
則g（x）=g（x+1）；
又因為f（x）=x+g（x）在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，5]，
令x+3=t，∵x∈[2，3]，∴t=x+3∈[5，6]，
則f（t）=t+g（t）=（x+3）+g（x+3）=（x+3）+g（x）=[x+g（x）]+3，
所以t∈[5，6]，f（t）∈[1，8]①．
再令x-4=t，∵x∈[2，3]，∴t=x-4∈[-2，-1]，
則f（t）=t+g（t）=（x-4）+g（x-4）=（x-4）+g（x）=[x+g（x）]-4，
所以t∈[-2，-1]，f（t）∈[-6，1]②．
綜上，可得f（x）=x+g（x）在區(qū)間[-2，6]上的值域為[-6，8]．
故答案為：[-6，8]．

點評：本題主要考查了函數(shù)的周期性以及函數(shù)的值域的求法的運用，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和能力，屬于中檔題．