在直角坐標(biāo)系xOy中,已知中心在原點(diǎn),離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C:x2+y2-4x+2=0的圓心.[中國(guó)

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過(guò)P作兩條斜率之積為的直線l1,l2.當(dāng)直線l1,l2都與圓C相切時(shí),求P的坐標(biāo).

 

【答案】

(Ⅰ)(Ⅱ),或,或,或.

【解析】(Ⅰ)由,得.故圓C的圓心為點(diǎn)

從而可設(shè)橢圓E的方程為其焦距為,由題設(shè)知

故橢圓E的方程為:

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,的斜分率分別為的方程分別為與圓相切,得,即

同理可得.

從而是方程的兩個(gè)實(shí)根,于是

      、

解得

它們滿足①式,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為

,或,或,或.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程,求出即得橢圓E的方程,第二問(wèn)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),利用過(guò)P點(diǎn)的兩條直線斜率之積為,得出關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的一個(gè)方程,利用點(diǎn)P在橢圓上得出另一方程,聯(lián)立兩個(gè)方程得點(diǎn)P坐標(biāo).

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點(diǎn),若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2)和點(diǎn)Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設(shè)u為R1,R2到x軸的距離之積.問(wèn):是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個(gè)m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說(shuō)明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個(gè)焦分別為F1,F(xiàn)2.過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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