Question

已知函數(shù)f（x）=

3x，(x≥0) log3(-x)，(x＜0)

，設函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x）+t，則關于g（x）的零點，下列說法正確的是

 

．（請?zhí)钌夏阏J為正確答案的序號）
①t=

1

4

時，g（x）有一個零點         
②-2＜t＜

1

4

時，g（x）有兩個零點
③t=-2時，g（x）有三個零點        
④t＜-2時，g（x）有四個零點．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,數(shù)形結合,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，函數(shù)的零點個數(shù)即為方程解的個數(shù)，令g（x）=0，結合條件討論方程的根的情況，結合圖象，即可判斷4個選項，可得①②③正確，④錯誤．

解答： 解：作出函數(shù)f（x）的圖象，如右．
對于①，t=

1

4

時，g（x）=f²（x）+f（x）+

1

4

，
令g（x）=0，則f（x）=-

1

2

，由圖象可得y=-

1

2

和y=f（x）
只有一個交點，則零點個數(shù)為1，故①對；
對于②，-2＜t＜

1

4

時，由f²（x）+f（x）+t=0，
判別式△=1-4t，可得0＜

△

＜3，解得f（x）=

-1± △

2

，
即有-

1

2

＜f（x）＜1，或-2＜f（x）＜-

1

2

，
由圖象可得有兩個交點，則有2個零點，故②對；
對于③，t=-2時，g（x）=0，解得f（x）=-2或1，
由圖象可得x₁=0，x₂=-3，x₃=-

1

9

，則有3個零點，故③對；
對于④，t＜-2時，由f²（x）+f（x）+t=0，
判別式△=1-4t，可得

△

＞3，解得f（x）=

-1± △

2

，
則有f（x）＞1或f（x）＜-2，則由圖象可得有兩個交點，
則有2個零點，故④錯．
故答案為：①②③．

點評：本題考查分段函數(shù)的圖象和運用，考查函數(shù)的零點的個數(shù)，考查數(shù)形結合的能力，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．