Question

已知函數(shù)f（x）=2cos

π

6

sinx+2sin

π

6

cosx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x-

π

6

）+1，求直線y=2與y=g（x）在閉區(qū)間[0，π]上的圖象的所有交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡函數(shù)解析式，得到f（x）=2sin（x+

π

6

），然后，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解；
（2）首先，求解得到函數(shù)g（x）=2sinx+1，然后，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=2cos

π

6

sinx+2sin

π

6

cosx
=2sin（x+

π

6

），
∴f（x）=2sin（x+

π

6

），
（1）令

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

3

+2kπ≤x≤

4π

3

+2kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[

π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ]，（k∈Z），
（2）g（x）=f（x-

π

6

）+1
=2sinx+1，
∴g（x）=2sinx+1，
∵2sinx+1=2，
∴2sinx=1，
∴sinx=

1

2

，
∵x∈[0，π]，
∴x=

π

6

或

5π

6

．
∴交點(diǎn)坐標(biāo)（

π

6

，2），（

5π

6

，2）．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式、數(shù)形結(jié)合思想等知識，屬于中檔題．