Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+ax²+a²x+1（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=-x³+x²+x+1，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．
（Ⅱ）由已知得f'（x）=-3x²+2ax+a²=-（3x+a）（x-a）．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=-x³+x²+x+1，
得f（2）=-1，…（1分）
且f'（x）=-3x²+2x+1，f'（2）=-7．…（3分）
所以，曲線f（x）=-x³+2x²-x+1在點（2，f（2））處的切線方程是y+1=-7（x-2），…（5分）
整理得7x+y-13=0．…（6分）
（Ⅱ）解：f（x）=-x³+ax²+a²x+1，
f'（x）=-3x²+2ax+a²=-（3x+a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得x=-

a

3

或x=a．   …（8分）
若a＞0，當(dāng)x變化時，f'（x）的正負如下表：

x	(-∞，- a 3 )	- a 3	(- a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在x=-

a

3

處取得極小值f(-

a

3

)，
且f(-

a

3

)=1-

5

27

a3．
函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），
且f（a）=1+a³．…（12分）

點評：本題考查切線方程的求法，考查函數(shù)f（x）的極大值和極小值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．