Question

1．如圖所示，圓O為正三角形ABC的內(nèi)切圓，P為圓O上一點(diǎn)，向量$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則x+y的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1]
• B． [$\frac{1}{3}$，1]
• C． [$\frac{1}{4}$，1]
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AC=2．A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（1，0）．則內(nèi)切圓O的半徑r=OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．可得內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：${x}^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{1}{3}$．設(shè)P的坐標(biāo)$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）．由于向量$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，可得x+2y=$\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ$+1，$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ$．化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)AC=2．A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（1，0）．
則內(nèi)切圓O的半徑r=OD=AD•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
可得內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：${x}^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{1}{3}$．
設(shè)P的坐標(biāo)$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）．
∵向量$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴$（\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ+1，\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ）$=x（1，$\sqrt{3}$）+y（2，0），
∴x+2y=$\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ$+1，$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ$．
∴x+y=$\frac{\sqrt{3}}{6}cosθ+\frac{1}{6}sinθ$+$\frac{2}{3}$
=$\frac{1}{3}sin（θ+\frac{π}{3}）$+$\frac{2}{3}$∈$[\frac{1}{3}，1]$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、正三角形的性質(zhì)、向量線性運(yùn)算、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．