【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(Ⅱ)過點的直線與橢圓交于,兩點,若點滿足,求證:由點 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對稱.
【答案】(Ⅰ),離心率;(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)由已知,得a,c=1,所以,由 ,所以b,即可求出橢圓方程及離心率;(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),,分兩種情況,借助韋達定理和向量的運算,求出點M構(gòu)成的曲線L的方程為2x2+3y2﹣2y=0,即可證明。
(Ⅰ)由已知,得,所以,
又,所以
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,離心率.
(Ⅱ)設(shè),, ,
①直線 與軸垂直時,點的坐標(biāo)分別為,.
因為,,,
所以.
所以,即點與原點重合;
②當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為,
由
得,.
所以.
則,
因為,,,
所以.
所以,.,,
消去得.
綜上,點構(gòu)成的曲線的方程為
對于曲線的任意一點,它關(guān)于直線的對稱點為.
把的坐標(biāo)代入曲線的方程的左端:.
所以點也在曲線上.
所以由點構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對稱.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)當(dāng)時,是否存在,使得成立?若存在,求實數(shù)的取值范圍,若不存在,請說明理由.
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【題目】設(shè)數(shù)列為首項是4,公差為1的等差數(shù)列,為數(shù)列的前項和,且。
(1)求數(shù)列及的通項公式和;
(2)問是否存在使成立?若存在,求出,若不存在,說明理由;
(3)對任意的正數(shù),不等式恒成立,求正數(shù)的取值范圍。
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【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD為BC邊上的中線,cos B=,AD=,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,空間直角坐標(biāo)系中,四棱錐的底面是邊長為的正方形,且底面在平面內(nèi),點在軸正半軸上,平面,側(cè)棱與底面所成角為45°;
(1)若是頂點在原點,且過、兩點的拋物線上的動點,試給出與滿足的關(guān)系式;
(2)若是棱上的一個定點,它到平面的距離為(),寫出、兩點之間的距離,并求的最小值;
(3)是否存在一個實數(shù)(),使得當(dāng)取得最小值時,異面直線與互相垂直?請說明理由;
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【題目】雙曲線經(jīng)過點,兩條漸近線的夾角為,直線交雙曲線于、.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過原點,為雙曲線上異于、的一點,且直線、的斜率為、,證明:為定值;
(3)若過雙曲線的右焦點,是否存在軸上的點,使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動,都有成立?若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在閉區(qū)間[a,b]和常數(shù)C,使得對任意x∈[a,b]都有f(x)=C,稱f(x)為“橋函數(shù)”.
(1)作出函數(shù)的圖象,并說明f(x)是否為“橋函數(shù)”?(不必證明)
(2)設(shè)f(x)定義域為R,判斷“f(x)為奇函數(shù)”是“為’橋函數(shù)’”的什么條件?給出你的結(jié)論并說明理由;
(3)若函數(shù)是“橋函數(shù)”,求常數(shù)m、n的值.
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【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計算圓的周長,面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ),劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值,這個結(jié)果是當(dāng)時世界上圓周率計算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時,某同學(xué)利用計算機隨機模擬法向圓內(nèi)隨機投擲點,計算得出該點落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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