Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-|ax+1|，a∈R．
（Ⅰ）若a=-2，且存在互不相同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄滿(mǎn)足f（x_i）=m（i=1，2，3，4），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=-2的f（x）解析式，畫(huà)出f（x）的圖象，要使得有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足f（x）=m，即函數(shù)y=m與y=f（x）的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察圖象可得；
（Ⅱ）對(duì)a討論，（1）若a=0，（2）若a＞0，（3）若a＜0，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象，討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性即可求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）若a=-2，則f（x）=x²-|-2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-1，x≤\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}-2x+1，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當(dāng)x$≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）_min=f（-1）=-2；當(dāng)x$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）_min=f（1）=0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，此時(shí)，f（x）的圖象如圖所示．
要使得有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足f（x）=m，
即函數(shù)y=m與y=f（x）的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
因此m的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$）；
（Ⅱ）（1）若a=0，則f（x）=x²-1，在[1，2]上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足條件；
（2）若a＞0，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-1，x≥-\frac{1}{a}}\\{{x}^{2}+ax+1，x＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，只需考慮x$≥-\frac{1}{a}$的情況．
此時(shí)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{a}{2}$，因此，只需$\frac{a}{2}$≤1，即0＜a≤2，
（3）若a＜0，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-1，x≤-\frac{1}{a}}\\{{x}^{2}+ax+1，x＞-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
結(jié)合函數(shù)圖象，有以下情況：
當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤$-\frac{1′}{a}$，即-$\sqrt{2}$≤a＜0時(shí)，此時(shí)f（x）在[$\frac{a}{2}，+∞$）內(nèi)單調(diào)遞增，
因此在[1，2]內(nèi)也單調(diào)遞增，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)-$\frac{a}{2}$＞-$\frac{1}{a}$，即a＜-$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）在[$\frac{a}{2}$，-$\frac{1}{a}$]和[-$\frac{a}{2}，+∞$）內(nèi)均單調(diào)遞增，
如圖所示，只需-$\frac{1}{a}$≥2或-$\frac{a}{2}$≤1，解得：-2≤a＜-$\sqrt{2}$；
即有a的取值范圍為-2≤a＜0，
由（1）、（2）、（3）得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-2≤a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象和應(yīng)用，主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．