Question

6．設(shè)動直線l垂直于x軸，且與橢圓x²+2y²=4交于A、B兩點(diǎn)，P是l上滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1（-2＜x＜2）$．

Answer 1

分析 確定A，B的坐標(biāo)，表示出向量，利用$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，化簡可得點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：設(shè)P（x，y），則
∵動直線l垂直于x軸，且與橢圓x²+2y²=4交于A，B兩點(diǎn)，
∴由方程x²+2y²=4，可得A，B的縱坐標(biāo)為y=±$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$
∴A（x，$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$），B（x，-$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$）（-2＜x＜2）．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，
∴（0，$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$-y）•（0，-$\sqrt{\frac{4-{x}^{2}}{2}}$-y）=1
∴$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1（-2＜x＜2）$
∴點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1（-2＜x＜2）$．
故答案為：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1（-2＜x＜2）$．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．