【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F1(﹣2,0),點(diǎn)B(2, )在橢圓C上,直線y=kx(k≠0)與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),直線AE,AF分別與y軸交于點(diǎn)M,N
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化,總有∠MPN為直角?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓方程為 (a>b>0),
則c=2,a2﹣b2=c2 , =1,解得:a2=8,b2=4.
可得橢圓C的方程為 =1;
(Ⅱ)如圖,設(shè)F(x0 , y0),E(﹣x0 , ﹣y0),則 =1,A(﹣2 ,0),
AF所在直線方程y= (x+2 ),
取x=0,得y= ,
∴N(0, ),
AE所在直線方程為y= (x+2 ),
取x=0,得y= .
則以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(0, ),
半徑r= ,
圓的方程為x2+(y﹣ )2= = ,即x2+(y+ )2= .
取y=0,得x=±2.
可得以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)(±2,0).
可得在x軸上存在點(diǎn)P(±2,0),
使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化,總有∠MPN為直角.
【解析】(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0),結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組得到a2 , b2的值,則橢圓方程可求;(Ⅱ)設(shè)F(x0 , y0),E(﹣x0 , ﹣y0),寫出AE、AF所在直線方程,求出M、N的坐標(biāo),得到以MN為直徑的圓的方程,由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)(±2,0),即可判斷存在點(diǎn)P.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是首項(xiàng)為a1 , 公比為q的等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和.Sn= ;若am+an=as+at , 則m+n=s+t;Sk , S2k﹣Sk , S3k﹣S2k成等比數(shù)列(k∈N).
以上說法正確的有( )個(gè).
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校1200名高三年級學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)(滿分為100分),為了分析這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的成績,從這1200人的數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽出200人的成績繪制成如下的統(tǒng)計(jì)表,請根據(jù)表中提供的信息解決下列問題;
(1)求a、b、c的值;
(2)如果從這1200名學(xué)生中隨機(jī)取一人,試估計(jì)這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測驗(yàn)及格的概率p(注:60分及60分以上為及格);
(3)試估計(jì)這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的年級平均分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三文科分為五個(gè)班.高三數(shù)學(xué)測試后,隨機(jī)地在各班抽取部分學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì),各班被抽取的學(xué)生人數(shù)恰好成等差數(shù)列,人數(shù)最少的班被抽取了18人.抽取出來的所有學(xué)生的測試成績統(tǒng)計(jì)結(jié)果的頻率分布條形圖如圖所示,其中120~130(包括120分但不包括130分)的頻率為0.05,此分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為5人.
(1)問各班被抽取的學(xué)生人數(shù)各為多少人?
(2)在抽取的所有學(xué)生中,任取一名學(xué)生,求分?jǐn)?shù)不小于90分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】是否存在過點(diǎn)(﹣5,﹣4)的直線l,使它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5?若存在,求出直線l的方程(化成直線方程的一般式);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 【2017四川宜賓二診】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),曲線的參數(shù)方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC, .點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長.
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