Question

16．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD=a，則三棱錐D-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$a³
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{12}$a³
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$a³
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$a³

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)對角線AC∩BD=O，由OB²+OD²=BD²，可得OB⊥OD．OD⊥平面ACB，利用三棱錐D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×OD×{S}_{△ABC}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)對角線AC∩BD=O，
∴OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵OB²+OD²=$（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}$×2=a²=BD²，
∴OB⊥OD．
又OD⊥AC，AC∩OB=O，
∴OD⊥平面ACB，
∴三棱錐D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×OD×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{1}{2}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{12}$．
故選：B．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．