Question

5．二次函數(shù)y=ax²+ax+2（a＞0）在R上的最小值為f（a）
（1）寫出f（a）的解析式
（2）證明：f（a）在[1，5]上遞減．

Answer 1

分析 （1）求出該二次函數(shù)的最小值便可得出$f（a）=-\frac{1}{4}a+2$；
（2）根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的a₁，a₂∈[1，5]，且a₁＜a₂，然后作差，從而證明f（a₁）＞f（a₂），便可得出f（a）在[1，5]上遞減．

解答 解：（1）根據(jù)題意：f（a）=$\frac{8a-{a}^{2}}{4a}=-\frac{1}{4}a+2$；
即f（a）=$-\frac{1}{4}a+2$；
（2）證明：設(shè)a₁，a₂∈[1，5]，且a₁＜a₂，則：
$f（{a}_{1}）-f（{a}_{2}）=\frac{1}{4}（{a}_{2}-{a}_{1}）$；
∵a₁＜a₂；
∴a₂-a₁＞0；
∴f（a₁）＞f（a₂）；
∴f（a）在[1，5]上遞減．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的最值公式，并清除二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)與取得最大或最小值的關(guān)系，一次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過(guò)程，作差比較法的應(yīng)用．