Question

20．某城市旅游資源豐富，經(jīng)調(diào)查，在過去的一個月內(nèi)（以30天計），第t天的旅游人數(shù)f（t）（萬人）近似地滿足f（t）=4+$\frac{1}{t}$，而人均消費g（t）（元）近似地滿足g（t）=125-|t-25|．
（Ⅰ）求該城市的旅游日收益W（t）（萬元）與時間t（1≤t≤30，t∈N₊）的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）求該城市旅游日收益的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件直接寫出，該城市的旅游日收益W（t）（萬元）與時間t（1≤t≤30，t∈N₊）的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）利用基本不等式，即可求該城市旅游日收益的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$W（t）=f（t）g（t）=（{4+\frac{1}{t}}）（{125-|{t-25}|}）$=$\left\{\begin{array}{l}（{4+\frac{1}{t}}）（{100+t}），1≤t≤25\\（{4+\frac{1}{t}}）（{150-t}），25＜t≤30\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}401+4t+\frac{100}{t}，1≤t≤25\\ 599+\frac{150}{t}-4t，25＜t≤30\end{array}\right.$…．（5分）
（Ⅱ）①當t∈[1，25]時，W（t）=401+4t+$\frac{100}{t}$≥401+2$\sqrt{4t•\frac{100}{t}}$=441（當且僅當$4t=\frac{100}{t}$時取等號）
所以，當t=5時，W（t）取得最小值441．…．（8分）
②當t∈（25，30]時，因為W（t）=$599+\frac{150}{t}-4t$遞減，
所以t=30時，W（t）有最小值W（30）=484＞441，…．（11分）
綜上，t∈[1，30]時，旅游日收益W（t）的最小值為441萬元．…．（12分）

點評 本題考查函數(shù)的實際應用，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力．