Question

19．等差數(shù)列{a_n}中，a₂=6，2a₃=a₁+a₄+3．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{{3^{n-1}}}}{n}•{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用a₂=6代入2a₃=a₁+a₄+3計(jì)算可知d=3，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（1）代入計(jì)算可知數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵2a₃=a₁+a₄+3，
∴2（6+d）=6-d+6+2d+3，
解得：d=3，a₁=a₂-d=6-3=3，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公差均為3的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3n；
（Ⅱ）由（1）可知a_n=3n，則b_n=$\frac{{3}^{n-1}}{n}$•a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{n}$•3n=3ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{2}$•（3ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．