Question

如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側(cè)（左）視圖、俯視圖，側(cè)（左）視圖是底邊長分別為2和4的直角梯形，俯視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直線CE與平面BDE的夾角正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,由三視圖求面積、體積,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AB⊥平面ACDE，即可求出四棱錐B-ACDE的體積；
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDE和平面BCD的法向量，證明其數(shù)量積為0，即可證明平面BDE⊥平面BCD；
（Ⅲ）利用向量的夾角公式，即可求直線CE與平面BDE的夾角正弦值．

解答： （Ⅰ）解：由題意可知，四棱錐B-ACDE中，
AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，
又AB⊥AC，且AE和AC相交，
∴AB⊥平面ACDE，
又AC=AB=AE=2，CD=4，
則四棱錐B-ACDE的體積為V=

1

3

SACDE•AB=

1

3

×

(4+2)×2

2

×2=4．…（4分）
（Ⅱ）證明：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
∴B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，4）

BE

=(-2，0，2)，

DE

=(0，-2，-2)

BC

=(-2，2，0)，

CD

=(0，0，4)…（5分）
設(shè)平面BDE和平面BCD的法向量分別為

m

=(x1，y1，z1)，

n

=(x2，y2，z2)

m

•

BE

=-2x1+2z1=0，

m

•

DE

=-2y1-2z1=0，取

m

=(1，-1，1)…（6分）

n

•

BC

=-2x₂+2y₂=0，

n

•

CD

=4z₂=0，取

n

=（1，1，0）…（7分）
∵

m

•

n

=1-1+0=0，∴

m

⊥

n

，
∴平面BDE⊥平面BCD           …（8分）
（Ⅲ）解：

CE

=(0，-2，2)，
∴cos＜

m

，

CE

＞=

2+2

3 • 8

=

6

3

…（11分）
直線CE與平面BDE的夾角正弦值為

6

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的體積、面面垂直考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．