Question

已知函數(shù)f（x）=3x-2，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且點（a_n，2S_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=f（a_n），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若 

T2n+4n

Tn+2n

＜a_n+1+t對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用f（x）=3x-2，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且點（a_n，2S_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，可得2S_n=3a_n-2，再寫一式，兩式相減，可得{a_n}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，

T2n+4n

Tn+2n

＜a_n+1+t對任意的n∈N^*恒成立，轉(zhuǎn)化為3ⁿ+1＜2•3ⁿ+t對任意的n∈N^*恒成立，即可求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=3x-2，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且點（a_n，2S_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴2S_n=3a_n-2①…（1分）
當n=1時，2S₁=3a₁-2，∴a₁=2 …（2分）
當n≥2時，2S_n-1=3a_n-1-2②…（3分）
①-②有：a_n=3a_n-1 …（5分）
∴{a_n}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=2•3^n-1．…（6分）
（2）b_n=f（a_n）=2•3ⁿ-2．                …（7分）
∴T_n=2（3+3²+…+3ⁿ）-2n=3ⁿ⁺¹-2n-3．                            …（9分）
∴

T2n+4n

Tn+2n

=

(3n-1)(3n+1)

3n-1

=3ⁿ+1           …（11分）
∵

T2n+4n

Tn+2n

＜a_n+1+t對任意的n∈N^*恒成立，
∴3ⁿ+1＜2•3ⁿ+t對任意的n∈N^*恒成立，
即t＞（-3ⁿ+1）_max．    …（12分）
∴t＞-2．                                            …（14分）

點評：本題考查數(shù)列通項與求和，考查恒成立問題，體現(xiàn)了數(shù)列的函數(shù)特性，同時考查了運算能力，屬中檔題．