Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x+a，x∈R，若f（x）的最大值為

2

．
（1）求a的值，并求函數(shù)f（x）取得最大值時自變量x的集合；
（2）說明函數(shù)f（x）的圖象可由y=sin2x圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角的正弦與余弦可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2-a，依題意（f（x）的最大值為

2

）可求得a的值，繼而可求函數(shù)f（x）取得最大值時自變量x的集合；
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，即可求得函數(shù)f（x）的圖象是由y=sin2x圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x+a
=sin2x+cos2x+2+a
=

2

sin（2x+

π

4

）+2-a，
則當sin（2x+

π

4

）=1時，f（x）_max=

2

+2+a=

2

，
∴a=-2；
此時sin（2x+

π

4

）=1，即2x+

π

4

=2kπ=

π

2

，k∈Z．
∴x=kπ+

π

8

，k∈Z．
∴f（x）取到最大值時，自變量x的集合為：{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．
（2）由已知a=-2，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
將y=sin2x的圖象向左平移

π

8

個單位得到y(tǒng)=f（x+

π

8

）=sin2（x+

π

8

）=sin（2x+

π

4

）的圖象；
再將y=sin（2x+

π

4

）的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的

2

倍（橫坐標不變）得到f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用與函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查二倍角的正弦與余弦及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．