【理科】已知雙曲線的中心在坐標原點O，一條準線方程為x=
3
2
，且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦點．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，試問：是否存在實數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．
（1）設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)．
由已知得：c2=12，
a2
c
=
3
2
，則a2=3，b2=9，…（3分）
因此所求雙曲線的標準方程為
x2
3
-
y2
9
=1．…（5分）
（2）存在實數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點O，…（6分）
將y=kx+3代入
x2
3
-
y2
9
=1得（3-k2）x2-6kx-18=0，
則由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得-
6
＜k＜
6
，k≠±
3
；…（8分）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個根，
由題意知：OA⊥OB，則x1x2+y1y2=0，…（10分）
又y1=kx1+3，y2=kx2+3，
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=
9k2-9
k2-3
=0，
即k=±1滿足條件．…（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知頂點在原點、對稱軸為坐標軸且開口向右的拋物線過點M（4，-4）．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線焦點F的直線l與拋物線交于不同的兩點A、B，若|AB|=8，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

y軸上兩定點B1（0，b）、B2（0，-b），x軸上兩動點M，N．P為B1M與B2N的交點，點M，N的橫坐標分別為XM、XN，且始終滿足XMXN=a2（a＞b＞0且為常數(shù)），試求動點P的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓mx2+ny2=1與直線x+y=1交于M，N兩點，MN的中點為P，且OP的斜率為
2
2
，則
m
n
的值為（　�。�
A．
2
2
B．
2
2
3
C．
9
2
2
D．
2
3
27

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（B題）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長為2
3
，離心率為
3
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點A（-1，1），過原點O的直線交橢圓于點B，C，求△ABC面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率為e，左、右兩焦點分別為F1、F2，焦距為2c，拋物線C以F2為頂點，F(xiàn)1為焦點，點P為拋物線與雙曲線右支上的一個交點，若a|PF2|+c|PF1|=8a2，則e的值為（　�。�
A．
3
B．3C．
2
D．
6

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=-x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當△OAB的面積等于
10
時，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1，拋物線C2：（y-m）2=2px（p＞0），且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點．
（Ⅰ）當AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的左右焦點F1，F(xiàn)2的坐標為（-4，0）與（4，0），離心率e=2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知橢圓
x2
36
+
y2
20
=1，點P是雙曲線與橢圓兩曲線在第一象限的交點，求|PF1|•|PF2|的值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案