Question

若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P、Q同時(shí)滿足下列條件：①P、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．則稱點(diǎn)對(duì)[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（注：點(diǎn)對(duì)[P，Q]與[Q，P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)）．已知函數(shù)f（x）=

log2x(x＞0) -x(x≤0)

則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有

 

對(duì)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對(duì)”，可知，欲求f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”，只須作出函數(shù)y=-x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log₂x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答： 解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，則f（-x）=-（-x）=x，
則函數(shù)y=-x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是y=-x
由題意知，作出函數(shù)y=-x（x＞0）的圖象，
看它與函數(shù)f（x）=log₂x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到友好點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)．
如圖，

觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：1．
即f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”有：1個(gè)．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”的正確理解，合理地利用圖象法解決．