Question

13．已知正三棱錐P-ABC，M和N分別為AB、PA的中點(diǎn)，MN⊥CN，若PA=1，則此正三棱錐的外接球表面積為（　�。�

• A． 5π
• B． 4π
• C． 3π
• D． 2π

Answer 1

分析 證明以PA、PB、PC為從同一點(diǎn)P出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，求出半徑即可求解球的表面積．

解答 解：∵M(jìn)和N分別為AB、PA的中點(diǎn)，∴MN∥PB，
∵P-ABC是正三棱錐，
∴PB⊥AC（對(duì)棱垂直），
∴MN⊥BC，
又MN⊥CN，而CN∩BC=C，
∴MN⊥平面PAC，
∴PB⊥平面PAC，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
以PA、PB、PC為從同一點(diǎn)P出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，
正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，
又PA=1，
∴2R=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為：4πR²=3π．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，判斷幾何體與球的關(guān)系，求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．