Question

20．直線2x+3y-6=0與圓x²+y²+2x-6y+m=0的兩個交點A，B，坐標原點為O，OA⊥OB，求實數m的值．

Answer 1

分析 設A、B的橫坐標分別為x₁，x₂，把直線2x+3y-6=0代入圓C的方程利用韋達定理求得x₁+x₂=$\frac{30}{13}$，x₁•x₂=$\frac{9m-72}{13}$．再根據OA⊥OB，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=0，求得m的值．

解答 解：設A、B的橫坐標分別為x₁，x₂，把直線2x+3y-6=0代入圓x²+y²+2x-6y+m=0，
可得13x²-30x+9m-72=0，∴x₁+x₂=$\frac{30}{13}$，x₁•x₂=$\frac{9m-72}{13}$．
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=0，即$\frac{13}{9}$x₁•x₂-$\frac{4}{3}$（x₁+x₂）+4=0，即$\frac{13}{9}$•$\frac{9m-72}{13}$-$\frac{4}{3}$•$\frac{30}{13}$+4=0，
求得m=$\frac{92}{13}$．此時△=900-52（9m-72）＞0．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系、韋達定理、兩個向量垂直的性質、兩個向量的數量積公式，屬于中檔題．