Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx+p在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，x=2是方程f（x）=0的一個根．
（1）求n的值；
（2）求證：f（1）≥2．

Answer 1

分析：（1）由題知x=0是極值點，那么另一個極值點在哪兒呢？是x=2嗎？不一定．會在x=2的哪一側(cè)呢？根據(jù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)可知x=0時函數(shù)取到極大值即在導(dǎo)函數(shù)中自變量取零時函數(shù)值也取零得到n的值即可；
（2）要證f（1）≥2，首先將f（1）化成關(guān)于m的式子，求出導(dǎo)函數(shù)的駐點根據(jù)增減性確定m的范圍，便可證之．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2mx+n．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)
∴當(dāng)x=0時，f（x）取到極大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（2）∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x²+2mx=0的兩個根分別為x₁=0，x₂=-

2m

3

∵函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，
∴x₂=-

2m

3

≥2
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．

點評：此題學(xué)生往往錯誤地認為x=2是另一個極值點．考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力．