Question

若函數(shù)f（x）同時具有以下兩個性質(zhì)：①f（x）是偶函數(shù)，②對任意實數(shù)x，都有f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x），則f（x）的解析式可以是（　　）

• A、f（x）=cosx
• B、f（x）=cos（2x+

  π

  2

  ）
• C、f（x）=sin（4x+

  π

  2

  ）
• D、f（x）=cos6x

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先判斷三角函數(shù)的奇偶性，再考查三角函數(shù)的圖象的對稱性，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由題意可得，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x=

π

4

對稱．
∵f（x）=cosx是偶函數(shù)，當(dāng)x=

π

4

時，函數(shù)f（x）=

2

2

，不是最值，故不滿足圖象關(guān)于直線x=

π

4

對稱，故排除A．
∵函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

2

）=-sin2x，是奇函數(shù)，不滿足條件，故排除B．
∵函數(shù)f（x）=sin（4x+

π

2

）=cos4x是偶函數(shù)，當(dāng)x=

π

4

時，函數(shù)f（x）=-4，是最大值，故滿足圖象關(guān)于直線x=

π

4

對稱，故C滿足條件．
∵函數(shù)f（x）=cos6x是偶函數(shù)，當(dāng)x=

π

4

時，函數(shù)f（x）=0，不是最值，故不滿足圖象關(guān)于直線x=

π

4

對稱，故排除D，
故選：C．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性的判斷，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．