【題目】已知函數(shù)，且.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若對(duì)任意，都有，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明函數(shù)的圖象在圖象的下方.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得，由求出的值即可得到函數(shù)的解析式；（Ⅱ），構(gòu)造函數(shù)，則，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)即可；（Ⅲ）“函數(shù)的圖象在圖象的下方”等價(jià)于“恒成立”，由（Ⅱ）可得即，所以只要證即，構(gòu)造函數(shù)，證明在區(qū)間上，即可.

試題解析： （Ⅰ）易知，所以，又………………1分

∴……………………………2分

∴.…………………………3分

（Ⅱ）若對(duì)任意的，都有，

即恒成立，即：恒成立………………4分

令，則，…………………………6分

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；……………………8分

∴時(shí)，有最大值，

∴，即的取值范圍為.…………………………10分

（Ⅲ）要證明函數(shù)的圖象在圖象的下方，

即證：恒成立，

即：………………………11分

由（Ⅱ）可得：，所以，

要證明，只要證明，即證：………………12分

令，則，

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，

∴，

即，……………13分

所以，從而得到，

所以函數(shù)的圖象在圖象的下方.…………14分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)， .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求證： ；

（3）求證：當(dāng)時(shí)， ， 恒成立.

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（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤(rùn)取到最大值？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

參考公式： ，

參考數(shù)據(jù)： ， .

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【題目】如圖“月亮圖”是由曲線與構(gòu)成，曲線是以原點(diǎn)為中點(diǎn)， 為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以為頂點(diǎn)， 為焦點(diǎn)的拋物線的一部分， 是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn).

（Ⅰ）求曲線和的方程；

（Ⅱ）過(guò)作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于四點(diǎn)，若為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，問(wèn)： 是否為定值？若是求出該定值；若不是說(shuō)明理由.

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（1）求頻率分布圖中的值，并估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；

（2）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率．．

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（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否都有平面，證明你的結(jié)論；

（3）若是的中點(diǎn)，求與所成的角的余弦值.

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