【題目】如圖,正方體中,分別為的中點(diǎn).
(1)求證:平面⊥平面;
(2)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否都有平面,證明你的結(jié)論;
(3)若是的中點(diǎn),求與所成的角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)連接AC,由正方形性質(zhì)得AC⊥BD,又由正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AB,BC的中點(diǎn),易得MN∥AC,則MN⊥BD.BB1⊥MN,由線面垂直的判定定理,可得MN⊥平面BB1D1D,進(jìn)而由面面垂直的判定定理,可得平面B1MN⊥平面BB1D1D;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在DD1上移動(dòng)時(shí),都有MN∥平面A1C1P.由線面平行的判定定理證明即可;
(3)設(shè)C1 C的中點(diǎn)為G,連接PG,B1G,即可說明∠GB1N即為A1P與B1N所成的角,在△GB1N中利用余弦定理求解即可.
試題解析:
(1)正方體中,平面,
平面,所以,
連接,因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn),
所以,
又四邊形是正方形,所以,所以,
因?yàn)?/span>,所以平面,
又因?yàn)?/span>平面,所以平面平面,
(2)當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí),都有平面,證明如下:
在正方體中,A1A∥C1C,且A1A=C1C,所以A1ACC1為平行四邊形,
在正方體中,A1A∥C1C,且A1A=C1C,所以A1ACC1為平行四邊形,
所以A1 C1∥A C,
由(1)知,MN∥A C,所以MN∥A1 C1 又
所以]
(3)設(shè)C1 C的中點(diǎn)為G,連接PG,B1G
又因?yàn)镻是D1D的中點(diǎn),所以PG∥C1D1且PG=C1D1,又A1B1∥C1D1且A1B1=C1D1
所以四邊形A1B1GP為平行四邊形,故A1P∥B1G且A1P=B1G
所以∠GB1N即為A1P與B1N所成的角
設(shè)正方體的棱長為2,所以在△GB1N中,B1G= B1N= ,GN=
所以cos∠GB1N=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為,求直線被曲線截得的弦長.
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【題目】班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析,決定從全班名男同學(xué), 名女同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行分析.
(1)如果按性別比例分層抽樣,可以得到多少個(gè)不同的樣本?(只要求寫出計(jì)算式即可,不必計(jì)算出結(jié)果)
(2)隨機(jī)抽取位,他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從小到大排序是: ,物理分?jǐn)?shù)從小到大排序是: .
①若規(guī)定分以上(包括分)為優(yōu)秀,求這位同學(xué)中恰有位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率;
②若這位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如下表:
根據(jù)上表數(shù)據(jù),由變量與的相關(guān)系數(shù)可知物理成績與數(shù)學(xué)成績之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)求與的線性回歸方程(系數(shù)精確到).
參考公式:回歸直線的方程是: ,其中對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值,
參考數(shù)據(jù): , , ,, ,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)若對(duì)任意,都有,求的取值范圍;
(Ⅲ)證明函數(shù)的圖象在圖象的下方.
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【題目】如圖,在多面體中,△是等邊三角形,△是等腰直角三角形,,平面⊥平面,⊥平面,點(diǎn)為的中點(diǎn),連接.
(1)求證:平面;
(2)若,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱柱的底面是邊長為的菱形,且,平面,,設(shè)為的中點(diǎn)
(1)求證:平面
(2)點(diǎn)在線段上,且平面,求平面和平面所成銳角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,討論當(dāng)時(shí)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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【題目】甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員,在某天訓(xùn)練中已各射擊10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
(Ⅰ)通過計(jì)算估計(jì),甲、乙二人的射擊成績誰更穩(wěn);
(Ⅱ)若規(guī)定命中8環(huán)及以上環(huán)數(shù)為優(yōu)秀,以頻率作為概率,請(qǐng)依據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì),求甲在第11至第13次射擊中獲得優(yōu)秀的次數(shù)的分布列和期望.
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【題目】傾斜角為的直線過點(diǎn)P(8,2),直線和曲線C:(為參數(shù))交于不同的兩點(diǎn)M1、M2.
(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程,并寫出直線的參數(shù)方程;
(2)求的取值范圍.
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