Question

17．已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=a，當(dāng)n≥2時(shí)${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_{n-1}}-3，（{a_{n-1}}＞3）\\ 4-{a_{n-1}}，（{a_{n-1}}≤3）\end{array}\right.$，
（1）當(dāng)a=100時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)的和S₁₀₀；
（2）證明：對(duì)于數(shù)列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．
（3）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，當(dāng)2＜a＜3時(shí)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=100，當(dāng)n≥2時(shí)${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_{n-1}}-3，（{a_{n-1}}＞3）\\ 4-{a_{n-1}}，（{a_{n-1}}≤3）\end{array}\right.$，當(dāng)a_n-1-3＞3，a_n-a_n-1=-3，此時(shí)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，可得a_n=103-3n．由a_n＞3，解得n≥33．利用其前n項(xiàng)和公式可得S₃₃=1716．當(dāng)n≥34時(shí)，a_n+a_n-1=4，利用其周期性可得S₁₀₀-S₃₃．
（2）由（1）可知：對(duì)于數(shù)列{a_n}，對(duì)于確定的a，若a∈[1，3]，則?k∈N^*，0＜a_k≤3成立．當(dāng)a∉[1，3]時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為a_n∈[1，3]，即可證明．
（3）當(dāng)2＜a＜3時(shí)，n≥2時(shí)，a_n=4-a_n-1，a₁=a，a₂=4-a，a₃=a，a₄=4-a，…，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{{2}^{n}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{4-a}{{2}^{n}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，分類(lèi)討論利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=100，當(dāng)n≥2時(shí)${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_{n-1}}-3，（{a_{n-1}}＞3）\\ 4-{a_{n-1}}，（{a_{n-1}}≤3）\end{array}\right.$，
當(dāng)a_n-1-3＞3，a_n-a_n-1=-3，此時(shí)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為100，公差為-3，∴a_n=100-3（n-1）=103-3n．
由a_n＞3，解得n≥33．
∴S₃₃=$\frac{33×（100+4）}{2}$=1716．
當(dāng)n≥34時(shí)，a_n+a_n-1=4，
a₃₄=1，a₃₅=3，a₃₆=1，a₃₇=3，…，
∴S₁₀₀-S₃₃=1+33×（1+3）=133，
∴S₁₀₀=1716+133=1849．
（2）證明：由（1）可知：對(duì)于數(shù)列{a_n}，對(duì)于確定的a，若a∈[1，3]，則?k∈N^*，0＜a_k≤3成立（*）．
當(dāng)a＞3時(shí)，a_n-a_n-1=-3是遞減數(shù)列，一定k使得a-3m∈[1，3]，則當(dāng)k∈N^*，且k≥m+1時(shí)，0＜a_k≤3成立．
當(dāng)a＜1時(shí)，a_n+a_n-1=4，可得：存在n，使，1≤a_n-1≤3，由（*）可得：存在k∈N^*，0＜a_k≤3成立．
綜上可得：對(duì)于數(shù)列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．
（3）解：當(dāng)2＜a＜3時(shí)，n≥2時(shí)，a_n=4-a_n-1，
a₁=a，a₂=4-a，a₃=a，a₄=4-a，…，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{{2}^{n}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{4-a}{{2}^{n}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_2k=$a（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2k-1}}）$+（4-a）$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{2k}}）$
=$a×\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{k}}）}{1-\frac{1}{4}}$+$（4-a）×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{k}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$（12-\frac{7a}{3}）$$（1-\frac{1}{{4}^{k}}）$=$（12-\frac{7a}{3}）（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_2k-1=S_2k-$\frac{4-a}{{2}^{2k}}$
=$（12-\frac{7a}{3}）$$（1-\frac{1}{{4}^{k}}）$-$\frac{4-a}{{4}^{k}}$=$12-\frac{7a}{3}$-$（16-\frac{10a}{3}）•\frac{1}{{4}^{k}}$=$12-\frac{7a}{3}$-$（16-\frac{10a}{3}）$•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{（12-\frac{7a}{3}）（1-\frac{1}{{2}^{n}}），n為偶數(shù)}\\{（12-\frac{7a}{3}）-（16-\frac{10a}{3}）•\frac{1}{{2}^{n+1}}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．