Question

已知{a_n}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足a₂•a₃=8a₁．
（1）求a₄；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n
①求證：{b_n}是等差數(shù)列；
②設(shè)b₁=9，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式求解．
（2）①由an=a1qn-1，得b_n=log₂a_n=log2(a1qn-1)=log₂a₁+（n-1）log₂q，由此能證明{b_n}是首項為b₁=log₂a₁，公差為d=log₂q的等差數(shù)列．
②由b₁=9，得a1=29，解得q=

1

4

，d=log2

1

4

=-2，由此能求出S_n．

解答： （1）解：∵{a_n}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足a₂•a₃=8a₁．
∴a1q•a1q2=8a1，∴q3=

8

a1

，
∴a4=a1q3=a1•

8

a1

=8．
（2）①證明：∵{a_n}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，∴an=a1qn-1，
∵b_n=log₂a_n=log2(a1qn-1)=log₂a₁+（n-1）log₂q，
∴{b_n}是首項為b₁=log₂a₁，公差為d=log₂q的等差數(shù)列．
②解：∵b₁=9，∴l(xiāng)og₂a₁=9，∴a1=29，
由a4=a1q3=29•q3=8，解得q=

1

4

，
∴d=log2

1

4

=-2，
∴S_n=9n+

n(n-1)

2

×(-2)=10n-n²．

點評：本題考查等比數(shù)列的第4項的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要注意等比數(shù)列和第差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用．