Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₂+b₂=5，a₃+b₃=9．
（1）求{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，由題意列式求出公比和公差，則{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）直接利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，a₁=b₁=1，a₂+b₂=5，a₃+b₃=9
則

a1+d+b1q=5 a1+2d+b1q2=9

，即

d+q=4…① 2d+q2=8…②

，②-①×2得，q²-2q=0，
∴q=2，q=0（舍），代入①得d=2．
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1，b_n=2^n-1
（2）

an

bn

=

2n-1

2n-1

∴S_n=1+

3

2

+

5

4

+

7

8

+…+

2n-1

2n-1

，…③

1

2

S_n=

1

2

+

3

4

+

5

8

+

7

16

+…+

2n-1

2n

…④
③-④得

1

2

S_n=1+

2

2

+

2

4

+

2

8

+

2

16

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=1+2（

1 2 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

）-

2n-1

2n

=3-

2n-5

2n

∴S_n=6-

2n-5

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．