已知直線(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k∈R)所經(jīng)過的定點F恰好是中心在原點的橢圓C的一個焦點,且橢圓C上的點到點F的最大距離為8.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)點A的坐標為(-2,1),M為橢圓C上任意一點,求|MF|+|MA|的最大值;
(Ⅲ)已知圓O:x2+y2=1,直線l:mx+ny=1.試證明當點P(m,n)在橢圓C上運動時,直線l與圓O恒相交,并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由已知條件設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,且滿足
c=3
a+c=8
a2=b2+c2
,由此能求出橢圓C的標準方程.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知推導出|MF|+|MF′|=2a=10,|MF|+|MA|=10+|MA|-|MF′|,由此能求出|MF|+|MA|的最大值.
(Ⅲ)由點P(m,n)在橢圓C上運動,知m2+n2
m2
25
+
n2
16
=1
,由此能求出直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)∵直線(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k∈R),
∴(x-2y-3)+k(4x+3y-12)=0,
則由
x-2y-3=0
4x+3y-12=0
,解得
x=3
y=0

∴定點F(3,0).
設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,(a>b>0)
∵直線(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k∈R)所經(jīng)過的定點F
恰好是中心在原點的橢圓C的一個焦點,
且橢圓C上的點到點F的最大距離為8,
c=3
a+c=8
a2=b2+c2
,解得
a=5
b=4
c=3
,
∴橢圓C的標準方程為
x2
25
+
y2
16
=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知橢圓C的兩個焦點分別F(3,0),F(xiàn)′(-3,0),
則有|MF|+|MF′|=2a=10,
|MF|+|MA|=10+|MA|-|MF′|,
當M,A,F(xiàn)′三點不共線時,|MA|-|MF|<|F′A|,
當M落在AF′的延長線上時,|MA|-|MF′|=|F′A|,
|F′A|=
(-2+3)2+(1-0)2
=
2
,
∴|MF|+|MA|的最大值為10+
2

(Ⅲ)∵點P(m,n)在橢圓C上運動,
m2+n2
m2
25
+
n2
16
=1

∴圓O的圓心到直線l的距離d=
1
m2+n2
<1=r,
∴直線l與圓O相交,
∵直線l被圓O截得的弦長為:
L=2
r2-d2
=2
1-
1
m2+n2
=2
1-
25
9m2+400
,0≤m2≤25,
∴L∈[
15
2
,
4
6
5
],
∴直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍[
15
2
4
6
5
].
點評:本題考查橢圓的方程的求法,考查兩線段和的最大值的求法,考查弦長的取值范圍的求法,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
練習冊系列答案
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下列命題的說法錯誤的是(  )
A、命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為:“x≠1,則x2-3x+2≠0”.
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C、對于命題p:?x∈R,x2+x+1>0,則¬p:?x0∈R,x02+x0+1≤0
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1
2

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π
2
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5
10

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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
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2
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執(zhí)行如圖所示的流程圖,則輸出S的值為
 

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給出下列四個命題:
①已知a,b,m都是正數(shù),且
a+m
b+m
a
b
,則a<b;
②若函數(shù)f(x)=lg(ax+1)的定義域是{x|x<1},則a<-1;
③已知x∈(0,π),則y=sinx+
2
sinx
的最小值為2
2
;
④已知a、b、c成等比數(shù)列,a、x、b成等差數(shù)列,b、y、c也成等差數(shù)列,則
a
x
+
c
y
的值等于2;
⑤已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),則b的取值范圍為(2-
2
,2+
2
).
其中正確命題的序號是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知x,y滿足
x≥1
x+y≤4
ax+by+c≤0
,且2x+y的取值范圍是[1,7],則
a+b+c
a
=( 。
A、1B、2C、-1D、-2

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