Question

已知拋物線C的頂在坐標(biāo)原點，焦點F（0，c）（c＞0）到直線y=2x的距離是

5

10

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+1（k≠0）與拋物線C交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中垂線與y軸交于點P（0，b），求b的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用焦點F（0，c）（c＞0）到直線y=2x的距離是

5

10

，求出c，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+1（k≠0）與拋物線C聯(lián)立，消去y，求出線段AB的中點，可得線段AB的垂直平分線方程，令x=0，得b=k²+2，即可求b的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵焦點F（0，c）（c＞0）到直線y=2x的距離是

5

10

，
∴

c

5

=

5

10

，
∴c=

1

2

∴拋物線C的方程為x²=2y；
（Ⅱ）直線y=kx+1（k≠0）與拋物線C聯(lián)立，消去y整理得x²-2kx-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2k，
∴線段AB的中點為Q（k，k²+1），
∴線段AB的垂直平分線方程為y-（k²+1）=-

1

k

（x-k）
在上述方程中令x=0，得b=k²+2≥2．
∴b的取值范圍是[2，+∞）．

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，確定線段AB的垂直平分線方程是關(guān)鍵．