Question

函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）的遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),指數(shù)函數(shù)綜合題,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），可得lg（lgy）=lg[3x（3-x）]，0＜x＜3．lgy=3x（3-x），即可得出．
（2）令u=3x（3-x）=-3(x-

3

2

)2+

27

4

，在(0，

3

2

)上單調(diào)遞增，在[

3

2

，3)上單調(diào)遞減；而10^u是增函數(shù)，即可得出f(0)＜f(x)≤f(

3

2

)，
（3）由（2）可知：函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為[

3

2

，3)．

解答： 解：（1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3-x），
∴l(xiāng)g（lgy）=lg[3x（3-x）]，0＜x＜3．
∴l(xiāng)gy=3x（3-x），
∴f（x）=y=10^3x（3-x），x∈（0，3）．
（2）令u=3x（3-x）=-3(x-

3

2

)2+

27

4

，在(0，

3

2

)上單調(diào)遞增，在[

3

2

，3)上單調(diào)遞減；而10^u是增函數(shù)．
∴f(0)＜f(x)≤f(

3

2

)，
∴f（x）的值域?yàn)?span id="gewdwrj" class="MathJye">(1，10

27

4

]．
（3）由（2）可知：函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為[

3

2

，3)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．