Question

【題目】若數(shù)列中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱為“等比源數(shù)列”。

（1）在無窮數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的結(jié)論下，試判斷數(shù)列是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論；

（3）已知無窮數(shù)列為等差數(shù)列，且，（），求證：數(shù)列為“等比源數(shù)列”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是，證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由，可得出，則數(shù)列為等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可間接求出；

（2）假設(shè)數(shù)列為“等比源數(shù)列”，則此數(shù)列中存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，可得出，展開后得出，然后利用數(shù)的奇偶性即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，假設(shè)存在三項(xiàng)使得，展開得出，從而可得知，當(dāng)，時(shí)，原命題成立.

（1），得，即，且.

所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，

因此，；

（2）數(shù)列不是“等比源數(shù)列”，下面用反證法來證明.

假設(shè)數(shù)列是“等比源數(shù)列”，則存在三項(xiàng)、、，設(shè).

由于數(shù)列為單調(diào)遞增的正項(xiàng)數(shù)列，則，所以.

得，化簡(jiǎn)得，

等式兩邊同時(shí)除以得，

，且、、，則，，，，

則為偶數(shù)，為奇數(shù)，等式不成立.

因此，數(shù)列中不存在任何三項(xiàng)，按一定的順序排列構(gòu)成“等比源數(shù)列”；

（3）不妨設(shè)等差數(shù)列的公差.

當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列為非零常數(shù)列，此時(shí)，數(shù)列為“等比源數(shù)列”；

當(dāng)時(shí)，，則且，數(shù)列中必有一項(xiàng)，

為了使得數(shù)列為“等比源數(shù)列”，只需數(shù)列中存在第項(xiàng)、第項(xiàng)使得，

且有，即，

，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，

等式成立，

所以，數(shù)列中存在、、成等比數(shù)列，因此，等差數(shù)列是“等比源數(shù)列”.