【題目】解答
(1)求證:函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0, ]上是減函數(shù),在[ ,+∞)上是增函數(shù).
(2)若f(x)= ,x∈[0,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的值域;
(3)對(duì)于(2)中的函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=﹣x﹣2a,若對(duì)任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1),求實(shí)數(shù)a的值.
【答案】
(1)證明:設(shè) ,任取x1,x2∈(0, ]且x1<x2, ,
顯然,x1﹣x2<0,x1x2>0,x1x2﹣a<0,∴h(x1)﹣h(x2)>0,即該函數(shù)在∈(0, ]上是減函數(shù);
同理,對(duì)任意x1,x2∈[ ,+∞)且x1<x2,h(x1)﹣h(x2)<0,即該函數(shù)在[ ,+∞)上是增函數(shù)
(2)解: ,設(shè)u=2x+1,x∈[0,1],1≤u≤3,
則 ,u∈[1,3].
由已知性質(zhì)得,當(dāng)1≤u≤2,即 時(shí),f(x)單調(diào)遞減,所以減區(qū)間為 ;
同理可得增區(qū)間為 ;
由f(0)=﹣3, , ,得f(x)的值域?yàn)閇﹣4,﹣3]
(3)解:g(x)=﹣x﹣2a為減函數(shù),故g(x)∈[﹣1﹣2a,﹣2a],x∈[0,1].
由題意,f(x)的值域是g(x)的值域的子集,∴ ,
∴ .
【解析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義,直接證明即可.(2)轉(zhuǎn)化函數(shù)的表達(dá)式為(1)的函數(shù)的形式,然后求解函數(shù)的值域即可.(3)利用函數(shù)的值域以及子集關(guān)系,列出不等式組求解即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解答
(1)集合M={1,2,(m2﹣3m﹣1)+(m2﹣5m﹣6)i},N={3,﹣1},M∩N={3},求實(shí)數(shù)m的值.
(2)已知12= ×1×2×3,12+22= ×2×3×5,12+22+32= ×3×4×7,12+22+32+42= ×4×5×9,由此猜想12+22+…+n2(n∈N*)的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣2x2+ax+b且f(2)=﹣3.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,3]上的值域;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞減,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1﹣x2 .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象.
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào),直接寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍.(不必寫出演算過程)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(﹣4,4)、B(4,4),直線AM與BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2,點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C 的軌跡方程;
(2)Q為直線y=﹣1上的動(dòng)點(diǎn),過Q做曲線C的切線,切點(diǎn)分別為D、E,求△QDE的面積S的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于0<a<1,給出下列四個(gè)不等式( )
①loga(1+a)<loga(1+ );
②loga(1+a)<loga(1+ );
③a1+a<a ;
④a1+a<a ;
其中成立的是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在高中學(xué)習(xí)過程中,同學(xué)們經(jīng)常這樣說:“數(shù)學(xué)物理不分家,如果物理成績(jī)好,那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就沒什么問題.”某班針對(duì)“高中生物理學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響”進(jìn)行研究,得到了學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論,現(xiàn)從該班隨機(jī)抽取5名學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績(jī),如下表:
編號(hào) 成績(jī) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
物理() | 90 | 85 | 74 | 68 | 63 |
數(shù)學(xué)() | 130 | 125 | 110 | 95 | 90 |
(1)求數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)物理成績(jī)的線性回歸方程 (精確到),若某位學(xué)生的物理成績(jī)?yōu)?0分,預(yù)測(cè)他的數(shù)學(xué)成績(jī)(結(jié)果精確到個(gè)位);
(2)要從抽取的這五位學(xué)生中隨機(jī)選出2位參加一項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽,求選中的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)至少有一位高于120分的概率.
(參考公式: , .)
(參考數(shù)據(jù): , .)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 的展開式中,前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù);
(2)求含x項(xiàng)的系數(shù).
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