Question

【題目】已知函數，.

（1）若有零點，求的取值范圍；

（2）討論的根的情況.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）作出函數和的圖象，利用數形結合思想得出當兩個函數有交點時，求出實數的取值范圍；

（2）作出函數和在上的圖象，根據兩函數圖象的頂點的高低得出方程的根的個數.

（1）作出函數和的圖象如下圖所示，

由于雙勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，函數在處取得最小值，即，

由圖象可知，當時，直線與函數的圖象有交點.

因此，實數的取值范圍是；

（2）二次函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，

則該函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，.

作出函數和在上的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當時，兩個函數沒有交點，方程在無實根；

當時，兩個函數只有一個交點，方程在只有一根；

當時，兩個函數有兩個交點，方程在有兩實根.

綜上所述，當時，方程無實根；當時，方程只有一根；當時，方程有兩根.