Question

某商場(chǎng)組織有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)，參與者需要先后回答兩道選擇題，問題A有三個(gè)選項(xiàng)，問題B有四個(gè)選項(xiàng)，但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，正確回答問題A可獲獎(jiǎng)金25元，正確回答問題B可獲獎(jiǎng)金30元，活動(dòng)規(guī)定：參與者可任意選擇回答問題的順序，如果第一個(gè)問題回答正確，則繼續(xù)答題，否則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)終止，假設(shè)一個(gè)參與者在回答問題前，對(duì)這兩個(gè)問題都很陌生，只能用蒙猜的辦法答題．
（1）如果參與者先回答問題A，求其獲得獎(jiǎng)金25元的概率；
（2）試確定哪種回答問題的順序能使該參與者獲獎(jiǎng)金額的期望值較大．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）隨機(jī)猜對(duì)問題A的概率P1=

1

3

，隨機(jī)猜對(duì)問題B的概率P2=

1

4

．由此能求出參與者先回答問題A，且獲得獎(jiǎng)金25元概率．
（2）參與者回答問題的順序有兩種，分別討論如下：①先回答問題A再回答問題B，參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0，25，55，②先回答問題B再回答問題A，參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0，30，55．分別求出相應(yīng)的期望能得到應(yīng)該先答問題A，再答問題B能使該參與者獲獎(jiǎng)金額的期望值較大．

解答： 解：（1）隨機(jī)猜對(duì)問題A的概率P1=

1

3

，
隨機(jī)猜對(duì)問題B的概率P2=

1

4

．
設(shè)參與者先回答問題A，且獲得獎(jiǎng)金25元為事件M，
則P(M)=P1(1-P2)=

1

3

×

3

4

=

1

4

，
即參與者先回答問題A，且獲得獎(jiǎng)金25元概率為

1

4

．（5分）
（2）參與者回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
①先回答問題A再回答問題B，參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0，25，55，
則P(ξ=0)=1-P1=

2

3

，
P(ξ=25)=P1(1-P2)=

1

4

，
P(ξ=55)=P1P2=

1

12

（8分）
E(ξ)=

130

12

．
②先回答問題B再回答問題A，參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0，30，55
則P(η=0)=1-P2=

3

4

，
P(η=30)=P2(1-P1)=

1

6

，
P(η=55)=P1P2=

1

12

，
E(η)=

115

12

．
因?yàn)镋（ξ）＞E（η），所以應(yīng)該先答問題A，再答問題B．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．