Question

6．已知I為△ABC所在平面上的一點，且AB=c，AC=b，BC=a．若a$\overrightarrow{IA}$+b$\overrightarrow{IB}$+c$\overrightarrow{IC}$=$\overrightarrow{0}$，則I一定是△ABC的（　　）

• A． 垂心
• B． 內(nèi)心
• C． 外心
• D． 重心

Answer 1

分析 由條件利用平面向量基本定理及其幾何意義，求得$\overrightarrow{AI}$=-$\frac{bc}{ab+c}$•（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），故點I在∠BAC的平分線上；同理可得點I在∠BCA的平分線上；再利用三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{IB}$=$\overrightarrow{IA}$+$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{IC}$=$\overrightarrow{IA}$+$\overrightarrow{AC}$，
∴a$\overrightarrow{IA}$+b$\overrightarrow{IB}$+c$\overrightarrow{IC}$=a$\overrightarrow{IA}$+b（$\overrightarrow{IA}$+$\overrightarrow{AB}$）+c（$\overrightarrow{IA}$+$\overrightarrow{AC}$）=（a+b+c）$\overrightarrow{IA}$+b•$\overrightarrow{AB}$+c•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$．
∴（a+b+c）$\overrightarrow{IA}$=-（b•$\overrightarrow{AB}$+c•$\overrightarrow{AC}$ ），
∴$\overrightarrow{IA}$=-（$\frac{-（b•\overrightarrow{AB}+c•\overrightarrow{AC}）}{a+b+c}$）=-（$\frac{a+b+c}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}$•$\overrightarrow{AC}$ ），
=-$\frac{1}{a+b+c}$（b•$\overrightarrow{AB}$+c•$\overrightarrow{AC}$ ）=-$\frac{1}{a+b+c}$（|$\overrightarrow{AC}$|•$\overrightarrow{AB}$+|$\overrightarrow{AB}$|•$\overrightarrow{AC}$ ）=-$\frac{bc}{a+b+c}$（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）．
故 $\overrightarrow{IA}$在角A的平分線上，故點I在∠BAC的平分線上．
同理可證，點I在∠BCA的平分線上，故點I為△ABC的內(nèi)心，
故選：B．

點評 本題主要考查平面向量基本定理及其幾何意義，三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．