Question

在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，且cosA=

4

5

，

sinB

sinA

=

b

2

，則△ABC的面積S的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角形的面積公式

專題：解三角形

分析：由正弦的可得：

sinB

sinA

=

b

a

，又

sinB

sinA

=

b

2

，可得a=2．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式可得bc≤10．由cosA=

4

5

，利用平方關(guān)系可得sinA=

1-cos2A

．再利用S_△ABC=

1

2

bcsinA即可得出．

解答： 解：在△ABC中，由正弦的可得：

sinB

sinA

=

b

a

，∵

sinB

sinA

=

b

2

，∴

b

a

=

b

2

，解得a=2．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴2²=b2+c2-

8

5

bc≥2bc-

8

5

bc=

2

5

bc，化為bc≤10．當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

10

時取等號．
∵cosA=

4

5

，∴sinA=

1-cos2A

=

3

5

．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

10

bc≤

3

10

×10=3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

10

時取等號．
∴△ABC的面積S的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查了正弦定理和余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．