如圖所示，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點）上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設向量
AP
=m
AB
+n
AF
（m、n為實數(shù)），則m+n的最大值為
 
．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應用
分析：連接AE會發(fā)現(xiàn)它與AB垂直，所以構造
AP
•
AE
，將條件中的
AP
=m
AB
+n
AF
帶人，便會得到
AP
•
AE
=m
AB
•
AE
+n
AF
•
AE
，而
AB
•
AE
=0，所以經(jīng)過化簡就可得到
AP
•
AE
=6n．同樣的辦法你會得到
AP
•
AC
=6m，顯然得到的這兩式需相加便經(jīng)過化簡得到m+n=|
AP
|cos∠PAO，而這正好是
AP
在
AO
方向上的投影，所以求這個投影的最大值即可，而投影的最大值，通過圖形就能得到．
解答： 解：如圖所示，
AP
=m
AB
+n
AF
．
∴
AP
•
AE
=m
AB
•
AE
+n
AF
•
AE
=n
AF
•
AE
=n|
AF
||
AE
|cos∠FAE=6n    ①
同理，
AP
•
AC
=6m        ②
①+②得：
AP
•(
AE
+
AC
)=6(m+n)；
∵
AE
+
AC
=2
AO
，∴2
AP
•
AO
=6(m+n)．
∵
AP
•
AO
=|
AP
||
AO
|cos∠PAO=3|
AP
|cos∠PAO．
∴m+n=|
AP
|cos∠PAO，其幾何意義就是
AP
在
AO
上的投影．
∴求m+n的最大值就轉化為求
AP
在
AO
上投影最大值．
從圖形上可以看出：當點Q和D點重合時，
AP
在
AO
上的投影取到最大值5．
點評：本題需注意的是構造兩組數(shù)量級，將求m+n的最大值轉化為求
AP
在
AO
方向上投影的最大值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
1
2
ax2-2x
（Ι）若曲線y=f（x）-g（x）在x=1與x=
1
2
處的切線相互平行，求實數(shù)a的值．
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-g（x）在（
1
3
，1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）設函數(shù)f（x）的圖象C1與函數(shù)g（x）的圖象C2交于P、Q兩點，過線段PQ的中點作X軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，判斷C1在點M處的切線與C2在點N處的切線是否平行，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE，CF的中點．
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）求證：平面BDGH∥平面AEF；
（3）求多面體ABCDEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，且cosA=
4
5
，
sinB
sinA
=
b
2
，則△ABC的面積S的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側且距離為1，則球的半徑是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），當x∈（0，
3
2
）時，f（x）=ln（x2-2x+2），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

點A（2，3）在矩陣M=
1
3
1
3
1
3
1
3
對應變換作用下得到點的坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-1，a為一個正常數(shù)，且f[f（-1）]=-1，則實數(shù)a=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（3，4），
b
=（-2，1），若（
a
+x
b
）⊥
b
，則實數(shù)x為（　　）
A、-
1
5
B、-
2
5
C、
1
5
D、
2
5

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